DUVI

Diario da Universidade de Vigo

Nun artigo publicado na revista 'Applied Mathematics and Computation'

Físicos da Universidade de Vigo desenvolven un novo método para a inversión de funcións

Os seus autores son David N. Olivieri e Daniele Tommasini

Etiquetas
  • Estudantes
  • Medios
  • PAS
  • PDI
  • Público externo
  • Ourense
  • Publicacións
  • TIC
  • Investigación
DUVI Ourense 26/09/2019

Os físicos e profesores da Universidade de Vigo David N. Olivieri e Daniele Tommasini veñen de propor un novo método, chamado Fast Switch and Spline Inversion (FSSI), para solucionar un problema matemático básico: a inversión de funcións. “No noso traballo desenvolvemos unha técnica inversa rápida que supera a todos os métodos existentes”, indican os investigadores, salientando como obter o inverso numérico dunha función “é importante para moitos problemas científicos”. A súa proposta foi publicada on line na revista Applied Mathematics and Computation, unha as revistas de matemática computacional de maior impacto, e sairá no seu próximo número en papel, levando por título Fast switch and spline scheme for accurate inversion of nonlinear functions: the new first choice solution to Kepler’s equation.

Segundo explican os autores do traballo, se y=f(x) é unha función dunha variable, que permite calcular a variable y coñecendo a variable x, a función inversa é aquela función que permite calcular a variable x coñecendo y. “A solución deste problema é coñecida de maneira explícita para as funcións elementais, como por exemplo exponenciais, logaritmos e funcións trigonométricas. Porén, para funcións máis complicadas débense utilizar rutinas de cálculo numérico”, sinalan. O exemplo “máis famoso historicamente” dun problema no que hai que inverter unha función, detallan os profesores, é a ecuación de Kepler, “que permite determinar a posición dun planeta en cada instante e prever así o seu movemento”. Durante catro séculos, indican, este problema solucionouse, coa precisión que se necesitaba en cada caso, usando métodos de cálculo numérico, primeiro implementados manualmente, despois por ordenador.
 
“Ata o de agora, usábanse métodos iterativos para solucionar a ecuación y=f(x) para un só valor da variable y á vez, e despois repetindo para outros valores. O novo método que propoñemos permite calcular a función inversa toda de golpe e polo tanto resulta ata miles de veces máis rápido se se necesita coñecer esa función nun gran número de puntos”, resumen David Olivieri, profesor da Escola Superior de Enxeñaría Informática, e Daniele Tommasini, profesor da Escola de Enxeñaría Aeronáutica e do Espazo do campus de Ourense. No caso da ecuación de Kepler, engaden, “pódese dicir que este método proporciona unha solución moito máis rápida que as que xa existían anteriormente para determinar dunha vez por todas a posición dun planeta en todos os instantes”. Ademais, sinalan os físicos, “pode haber situacións para as que esa enorme mellora dos tempos de execución pode ter unha maior importancia”. Así, adiantan, “neste momento estamos explorando estas posibilidades, ademais de estar traballando nun software universal de inversión de funcións baseado no noso método para poñelo a disposición de todos os usuarios”.

Máis precisión

O método proposto, describen os seus autores, baséase en varios pasos. “Primeiro, calcúlase a función de input nunha rede de puntos da variable x; segundo, invértese a matriz formada polos puntos x desa rede e os valores da función f(x); terceiro, faise unha interpolación polinomial, conseguindo así a función inversa calculada en todos os puntos y do codominio, ou sexa, no caso da ecuación de Kepler, para todos os instantes ao mesmo tempo”. Así, indican os físicos, “conséguese a inversión dunha vez por todas, cun pequeno custe fixo de tempo de execución debido aos cálculos na rede, que se pode reducir ao máximo usando un método de interpolación polinomial optimizado para este problema (que tamén deseñamos neste traballo)”. En todo caso, apuntan, como ese cálculo se fai só unha vez, se se debe obter a función inversa en moitos puntos o método proposto “é moito máis rápido que os algoritmos iterativos que traballan independentemente punto por punto”.

Ademais, calculando o erro teórico do seu método, detallan os investigadores do campus de Ourense, “descubrimos que é moitísimo menor que o que se podería agardar aplicando a teoría da interpolación polinomial de maneira directa. Noutras palabras, os algoritmos de interpolación polinomial son moito máis precisos para este problema de inversión, que para as súas outras aplicacións”. Finalmente, engaden, “outra gran vantaxe do noso método é que se pode implementar de maneira moi elegante e eficaz na linguaxe de programación Python, que se converteu nunha linguaxe de programación popular entre as e os científicos. Desta maneira, outras e outros científicos poden usar facilmente o noso código de computadora nos seus propios cálculos numéricos”.